数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初期値は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 3n$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初期値は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 3n$ です。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形になっています。すなわち、$a_{n+1} - a_n = 3n$ となっています。

このことから、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\{3n\}$ であることがわかります。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k$

$a_1 = 1$ を代入すると、

$a_n = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} = \frac{2 + 3n^2 - 3n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3(1)^2 - 3(1) + 2}{2} = \frac{3 - 3 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、初期条件と一致します。

したがって、一般項は

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$