次の方程式を解きます。 (1) $x^3 = 1$ (2) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、(1)と(2)を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $x^3 = 1$

(2) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 = 1$ は $x^3 - 1 = 0$ と変形できます。

これは因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を使うと、

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ となります。

したがって、$x - 1 = 0$ または $x^2 + x + 1 = 0$ です。

$x - 1 = 0$ より、$x = 1$。

$x^2 + x + 1 = 0$ は二次方程式なので、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2)

$x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$

この方程式の整数解を探します。整数解の候補は定数項の約数なので、$\pm 1, \pm 2$ を試します。

$x=2$ を代入すると、$2^3 + 2^2 - 7(2) + 2 = 8 + 4 - 14 + 2 = 0$ となり、$x=2$ は解の一つです。

したがって、$x-2$ は $x^3 + x^2 - 7x + 2$ の因数です。

筆算または組み立て除法で $x^3 + x^2 - 7x + 2$ を $x-2$ で割ると、

$x^3 + x^2 - 7x + 2 = (x - 2)(x^2 + 3x - 1)$ となります。

したがって、$x - 2 = 0$ または $x^2 + 3x - 1 = 0$ です。

$x - 2 = 0$ より、$x = 2$。

$x^2 + 3x - 1 = 0$ は二次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = 2, \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$