与えられた複素数の分数を簡単にし、$a+bi$ の形式で表現します。具体的には、$\frac{8}{3-4i}$ を計算します。

はい、承知しました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数を簡単にし、$a+bi$ の形式で表現します。具体的には、$\frac{8}{3-4i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

複素数の分数を簡単にするには、分母の共役複素数を分子と分母の両方に掛けます。

* 分母 $3-4i$ の共役複素数は $3+4i$ です。

* 分子と分母に $3+4i$ を掛けます。

$\frac{8}{3-4i} = \frac{8}{3-4i} \cdot \frac{3+4i}{3+4i}$

$\frac{8}{3-4i} = \frac{8(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}$

* 分子を展開します。

$8(3+4i) = 24 + 32i$

* 分母を展開します。

$(3-4i)(3+4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$9 - 16i^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25$

* したがって、

$\frac{8(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{24+32i}{25}$

* この複素数を、$a+bi$ の形式で書き表します。

$\frac{24+32i}{25} = \frac{24}{25} + \frac{32}{25}i$

3. 最終的な答え

$\frac{24}{25} + \frac{32}{25}i$