2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を整理します。

$-x^2 + 3x - 4 = 0$ の両辺に $-1$ を掛けて、

$x^2 - 3x + 4 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 4$

求めたい式 $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を変形します。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$

ここで、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ を用いると、

$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta}$

$\alpha + \beta = 3$、$\alpha \beta = 4$ を代入して計算します。

$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{3^2 - 2(4)}{4} = \frac{9 - 8}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$