2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を整理します。

$-x^2 + 3x + 2 = 0$

$x^2 - 3x - 2 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = -2$

$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めるために、以下の公式を利用します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

これに $\alpha + \beta = 3$ と $\alpha \beta = -2$ を代入すると、

$\alpha^3 + \beta^3 = (3)^3 - 3(-2)(3)$

$\alpha^3 + \beta^3 = 27 + 18$

$\alpha^3 + \beta^3 = 45$

3. 最終的な答え

45