2次方程式 $-x^2 + 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の係数を整理します。与えられた方程式は $-x^2 + 4x + 3 = 0$ です。これを $x^2$ の係数を正にするために $-1$ を掛けて $x^2 - 4x - 3 = 0$ とします。

解と係数の関係を利用します。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の関係が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

この問題では $a = 1$、$b = -4$、$c = -3$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{1} = 4$

$\alpha \beta = \frac{-3}{1} = -3$

求めたい値は $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ です。これを計算するために通分します。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

$\alpha + \beta = 4$、$\alpha \beta = -3$ を代入すると、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3}$