2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$a = 2$, $b = -4$, $c = 1$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

次に、求めたい式 $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を変形します。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta}$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ であることを利用すると、

$\frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha \beta}$

$\alpha + \beta = 2$ と $\alpha \beta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\frac{(2)^2 - 2(\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{4 - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6$

3. 最終的な答え

6