関数 $y = 2x^2 + x + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + x + 1$

$y = 2(x^2 + \frac{1}{2}x) + 1$

$y = 2(x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) + 1$

$y = 2(x + \frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{16}) + 1$

$y = 2(x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 1$

$y = 2(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}$

この平方完成された式から、頂点の座標は $(-\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$ であることがわかります。

また、下に凸な放物線であることもわかります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標 $-\frac{1}{4}$ は定義域に含まれています。

$x = -\frac{1}{4}$ のとき、 $y = \frac{7}{8}$ となり、これが最小値の候補です。

定義域の端点における $y$ の値を調べます。

$x = -1$ のとき、

$y = 2(-1)^2 + (-1) + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$

$x = 1$ のとき、

$y = 2(1)^2 + (1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$

したがって、定義域内の最小値は $x = -\frac{1}{4}$ のときの $y = \frac{7}{8}$ であり、最大値は $x = 1$ のときの $y = 4$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 4

最小値: $\frac{7}{8}$