(3) $x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ と $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。 (4) 不等式 $\frac{1}{5}x + 4 < \frac{1}{2}x + 3$ の解を求めます。 (5) 不等式 $x^2 + x - 1 < 0$ の解と、この不等式を満たす整数 $x$ の値を求めます。 (6) 2次関数 $y = x^2 - (m+1)x + 2(m+1)$ のグラフが$x$軸に接するとき、$m$の値を求めます。 (7) $\sin 60^\circ + \frac{\tan 60^\circ}{1 + \frac{1}{\cos 60^\circ}}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(3) $x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ と $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

(4) 不等式 $\frac{1}{5}x + 4 < \frac{1}{2}x + 3$ の解を求めます。

(5) 不等式 $x^2 + x - 1 < 0$ の解と、この不等式を満たす整数 $x$ の値を求めます。

(6) 2次関数 $y = x^2 - (m+1)x + 2(m+1)$ のグラフが$x$軸に接するとき、$m$の値を求めます。

(7) $\sin 60^\circ + \frac{\tan 60^\circ}{1 + \frac{1}{\cos 60^\circ}}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$x$ を簡単にします。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

次に、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3}$

したがって、$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

(4)

$\frac{1}{5}x + 4 < \frac{1}{2}x + 3$

両辺に 10 をかけます。

$2x + 40 < 5x + 30$

$10 < 3x$

$x > \frac{10}{3}$

(5)

$x^2 + x - 1 < 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、

$\frac{-1 - 2.236}{2} < x < \frac{-1 + 2.236}{2}$

$-1.618 < x < 0.618$

したがって、$x$ が満たす整数は $-1, 0$

(6)

$y = x^2 - (m+1)x + 2(m+1)$ が $x$ 軸に接するとき、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (m+1)^2 - 4(1)(2(m+1)) = 0$

$(m+1)^2 - 8(m+1) = 0$

$(m+1)(m+1-8) = 0$

$(m+1)(m-7) = 0$

$m = -1, 7$

(7)

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin 60^\circ + \frac{\tan 60^\circ}{1 + \frac{1}{\cos 60^\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{1 + 2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

(3) $x + \frac{1}{x} = 4$, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$

(4) $x > \frac{10}{3}$

(5) $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $x = -1, 0$

(6) $m = -1, 7$

(7) $\frac{5\sqrt{3}}{6}$