正方形の紙の四隅から一辺が4cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、その容積が$196 cm^3$になった。最初の正方形の紙の一辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正方形の紙の四隅から一辺が4cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、その容積が$196 cm^3$になった。最初の正方形の紙の一辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

* 最初の正方形の一辺の長さを$x$ (cm)とします。

* 直方体の底面の縦と横の長さは、正方形の一辺から両側の4cmを引いたものなので、$x - 4 - 4 = x - 8$ (cm)となります。

* 直方体の高さは、切り取った正方形の一辺の長さと同じなので、4cmです。

* 直方体の容積は、縦$\times$横$\times$高さで計算できるので、$4(x-8)(x-8) = 196$となります。

* 上記の式を解きます。

* $(x-8)(x-8) = 196 / 4 = 49$

* $(x-8)^2 = 49$

* $x-8 = \pm \sqrt{49} = \pm 7$

* $x = 8 \pm 7$

* $x = 8 + 7 = 15$ または $x = 8 - 7 = 1$

* $x=1$は不適切です。なぜならば、$x-8$が負になるからです。

* よって、$x=15$となります。

3. 最終的な答え

15 cm