与えられた2変数多項式を因数分解します。 与えられた式は $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式を因数分解します。

与えられた式は $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ です。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての二次式とみて整理します。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)$

次に、定数項 $3y^2 - 5y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 5y - 2 = (3y + 1)(y - 2)$

元の式は

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y + 1)(y - 2)$

と表せます。

これを $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解することを考えます。

$2x^2$ の係数から、$a = 2, d = 1$ あるいは $a = 1, d = 2$ であることが予想できます。

また、 $(3y + 1)(y - 2)$ から、$b = 3, e = 1$ または $b = 1, e = 3$ あるいは $b = 1, e = -2$ または $b = -2, e = 1$ であることが予想できます。

試行錯誤により、

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y + 1)(y - 2) = (2x + y - 2)(x + 3y + 1)$

となることがわかります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x + 3y + 1)$