1辺の長さが1の正五角形ABCDEにおいて、$\vec{AB} = \vec{a}$、$\vec{AE} = \vec{b}$ とする。$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ であるとき、$\vec{CE}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

1辺の長さが1の正五角形ABCDEにおいて、$\vec{AB} = \vec{a}$、$\vec{AE} = \vec{b}$ とする。$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ であるとき、$\vec{CE}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{CE}$ を $\vec{AE}$ と $\vec{AC}$ を用いて表す。

$\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC} = \vec{b} - \vec{AC}$

次に、$\vec{AC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{BC}$

$\vec{BC}$ は、正五角形の辺である。したがって、$\vec{BC}$ の長さは1である。また、$\angle ABC = 108^\circ$ である。

ここで、$\vec{BC} = k \vec{a} + l \vec{b}$ と表すことを考える。正五角形の対称性から、$\vec{BC}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表せる。

正五角形の1つの内角は108°であり、頂点Aにおける角度は36°が2つで72°であることから、$\angle BAC = \angle BCA = 36^\circ$ となる。

三角形ABCにおいて、余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos 108^\circ$。

$AC = x$とすると、$x^2 = 1 + 1 - 2 \cos 108^\circ$。$\cos 108^\circ = - \cos 72^\circ = - \frac{\sqrt{5}-1}{4}$より、$x^2 = 2 + 2(\frac{\sqrt{5}-1}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{4+\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$x = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\vec{AC}$ の大きさは$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$である。$\vec{BC} = \vec{AE}$であり、$\angle A = 36^\circ$と、$\angle BAC = 36^\circ$から、$BC$と$AE$は平行ではない。

$\vec{AC} = \vec{a}+\vec{BC}$より、$\vec{CE} = \vec{b} - (\vec{a}+\vec{BC})$

$\vec{CD}$ = $\vec{BA}$ = -$\vec{a}$

$\vec{DE}$ = $\vec{BC}$

$\vec{BC} = k\vec{a}+l\vec{b}$とおくと、$\vec{AC}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{BC}$ = $\vec{a}$ + $\vec{DE}$

よって、$\vec{CE}$ = -$\vec{a}$ - $\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{CE} = -\vec{a} - \vec{b}$