関数 $y = \frac{8}{x}$ ($x > 0$)のグラフ上に2点A, Bがあり、点Aのx座標は2、点Bのx座標は4である。 (1) 三角形AOBの面積を求めよ。 (2) y軸上に点Pをとり、三角形OBPと三角形AOBの面積が等しくなるようにする。このとき、点Pのy座標を全て求めよ。

## 問題１

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{8}{x}$ ($x > 0$)のグラフ上に2点A, Bがあり、点Aのx座標は2、点Bのx座標は4である。

(1) 三角形AOBの面積を求めよ。

(2) y軸上に点Pをとり、三角形OBPと三角形AOBの面積が等しくなるようにする。このとき、点Pのy座標を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

点Aのx座標は2なので、$y = \frac{8}{2} = 4$。 よって、A(2, 4)。

点Bのx座標は4なので、$y = \frac{8}{4} = 2$。 よって、B(4, 2)。

三角形AOBの面積は、点A, Bからx軸に垂線を下ろし、台形を作り、その台形から2つの三角形を引くことで求める。

台形の面積 = $\frac{(4 + 2) \times (4 - 2)}{2} = \frac{6 \times 2}{2} = 6$

左の三角形の面積 = $\frac{2 \times 4}{2} = 4$

右の三角形の面積 = $\frac{(4 - 2) \times 2}{2} = \frac{2 \times 2}{2} = 2$

三角形AOBの面積 = $6 - 4 - 2 = 0$

ただしこれは点A, B, Oが一直線上に並んでしまっていることを意味するので、別の解き方をする必要がある。

別解として、A(2,4)とB(4,2)を結ぶ直線の方程式を求める。

傾きは、$\frac{2-4}{4-2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y = -x + b$として、点A(2,4)を代入すると、

$4 = -2 + b$

$b = 6$

よって、A(2,4)とB(4,2)を結ぶ直線の方程式は、$y = -x + 6$

三角形AOBの面積 = $\frac{1}{2} \times 6 \times (4-2) = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$

(2) 点Pの座標を(0,p)とする。

三角形OBPの面積 = $\frac{1}{2} \times 8 \times |p| = 4|p|$

三角形OBPの面積 = 三角形AOBの面積より、$4|p| = 3$

$|p| = \frac{3}{4}$

$p = \pm \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形AOBの面積: 3

(2) 点Pのy座標: $p = \frac{3}{4}, -\frac{3}{4}$

## 問題２

1. 問題の内容

3点A(2, 0), B(8, 0), C(8, 9)を頂点とする三角形ABCがある。

(1) 点Bを通り三角形ABCの面積を二等分する直線が辺ACと交わる点の座標を求めよ。

(2) 辺AC上に点Pをとり、点Pから辺AB, BCに下ろした垂線が辺AB, BCと交わる点をそれぞれQ, Rとする。四角形PQBRが正方形となるときの、点Pのx座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

底辺ABの長さは$8 - 2 = 6$

高さは9なので、三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \times 6 \times 9 = 27$

求める直線がACと交わる点をMとする。

三角形ABMの面積 = $\frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{Mのy座標} = 13.5$

$\frac{1}{2} \times 6 \times \text{Mのy座標} = 13.5$

$\text{Mのy座標} = \frac{13.5}{3} = 4.5$

直線ACの方程式を求める。

A(2, 0), C(8, 9)を通るので、傾きは$\frac{9 - 0}{8 - 2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{2}x + b$として、A(2, 0)を代入すると、

$0 = \frac{3}{2} \times 2 + b$

$b = -3$

よって、直線ACの方程式は$y = \frac{3}{2}x - 3$

Mのy座標が4.5なので、x座標は

$4.5 = \frac{3}{2}x - 3$

$7.5 = \frac{3}{2}x$

$x = \frac{7.5 \times 2}{3} = \frac{15}{3} = 5$

よって、M(5, 4.5)

(2) 点Pの座標を(t, $\frac{3}{2}t - 3$)とする。

PQ = t - 2

PR = 8 - t

PQBRが正方形なので、PQ = PR

t - 2 = 8 - t

2t = 10

t = 5

3. 最終的な答え

(1) (5, 4.5)

(2) 5