与えられた方程式 $|x-1| = 2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|x-1| = 2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、絶対値の中身の符号によって場合分けを行います。

(i) $x-1 \ge 0$ のとき、すなわち $x \ge 1$ のとき

$|x-1| = x-1$ なので、方程式は $x-1 = 2x$ となります。

これを解くと、 $-x = 1$ より $x = -1$ となります。

しかし、$x \ge 1$ という条件に反するので、この場合は解なしです。

(ii) $x-1 < 0$ のとき、すなわち $x < 1$ のとき

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$ なので、方程式は $-x+1 = 2x$ となります。

これを解くと、$3x = 1$ より $x = \frac{1}{3}$ となります。

これは、$x < 1$ という条件を満たしています。

また、方程式 $|x-1|=2x$ において、絶対値は常に非負の値をとるため、$2x \ge 0$ である必要があります。つまり、$x \ge 0$ という条件が成り立ちます。

(i)の場合、$x=-1$ は $x\ge 0$ を満たさないので不適。

(ii)の場合、$x=\frac{1}{3}$ は $x\ge 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{3}$