以下の4つの問題について解答します。 1. $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ かつ $\tan \theta = -\frac{12}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

以下の4つの問題について解答します。

1. $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ かつ $\tan \theta = -\frac{12}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ かつ $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\cos \theta - \sin \theta$

3. $\triangle ABC$ において、$a=\sqrt{6}$, $b=2\sqrt{3}$, $c=3+\sqrt{3}$ のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

4. $\triangle ABC$ において、$a=8$, $b=6$, $c=4$ のとき、面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{12}{5}$ である。また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ である。

$\sin \theta = -\frac{12}{5} \cos \theta$ を代入すると、

$(\frac{-12}{5}\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{144}{25}\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$\frac{169}{25}\cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = \frac{25}{169}$

$\cos \theta = \pm \frac{5}{13}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ において $\tan \theta = -\frac{12}{5} < 0$ であるから、$\cos \theta < 0$ である。

よって $\cos \theta = -\frac{5}{13}$。

$\sin \theta = -\frac{12}{5} \cos \theta = -\frac{12}{5} \times (-\frac{5}{13}) = \frac{12}{13}$

2. (1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{\sqrt{5}}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{5}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{9}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{9} - 1 = -\frac{4}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{9}$

(2) $(\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{9}$ より、

$(\cos \theta - \sin \theta)^2 = 1 - 2 \times (-\frac{2}{9}) = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$

$\cos \theta - \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{13}}{3}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3} > 0$ かつ $\sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{9} < 0$ より、

$\sin \theta > 0$ で $\cos \theta < 0$ である。

したがって $\cos \theta - \sin \theta < 0$ なので、$\cos \theta - \sin \theta = -\frac{\sqrt{13}}{3}$

3. 余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (3+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}{2 \times 2\sqrt{3} \times (3+\sqrt{3})} = \frac{12 + 9 + 6\sqrt{3} + 3 - 6}{4\sqrt{3} (3+\sqrt{3})} = \frac{18 + 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3} + 12} = \frac{6(3+\sqrt{3})}{12(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}+1)} = \frac{(3+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3\sqrt{3}-3+3-\sqrt{3}}{2(3-1)} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって $A = 30^\circ$。

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = \frac{(3+\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \times (3+\sqrt{3}) \times \sqrt{6}} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3 + 6 - 12}{2(3+\sqrt{3})\sqrt{6}} = \frac{6 + 6\sqrt{3}}{2(3+\sqrt{3})\sqrt{6}} = \frac{6(1+\sqrt{3})}{2(3+\sqrt{3})\sqrt{6}} = \frac{3(1+\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\sqrt{6}} = \frac{3(1+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})\sqrt{6}} = \frac{3(3-\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3)}{(9-3)\sqrt{6}} = \frac{3(2\sqrt{3})}{6\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{3}}{6\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって $B = 45^\circ$。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

4. ヘロンの公式より、$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+6+4}{2} = 9$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9(9-8)(9-6)(9-4)} = \sqrt{9 \times 1 \times 3 \times 5} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \times 15} = 3\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

1. $\sin \theta = \frac{12}{13}$, $\cos \theta = -\frac{5}{13}$

2. (1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{9}$

(2) $\cos \theta - \sin \theta = -\frac{\sqrt{13}}{3}$

3. $A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$

4. $S = 3\sqrt{15}$