問題は、三角形ABCの外側に正三角形BDC, CEA, AFBを作り、それぞれの重心をG1, G2, G3とするとき、三角形G1G2G3が正三角形になることを証明するものです。特に、 (1) △AFCと△ABEが合同であることを示す根拠を選ぶ。 (2) AG3, AG2をそれぞれAF, ACを用いて表す。 (3) ∠G3AB, ∠G2ACの角度を求める。 (4) ∠G3AG2 = ∠FACを示す。 これらの穴埋めを完成させる。

1. 問題の内容

問題は、三角形ABCの外側に正三角形BDC, CEA, AFBを作り、それぞれの重心をG1, G2, G3とするとき、三角形G1G2G3が正三角形になることを証明するものです。特に、

(1) △AFCと△ABEが合同であることを示す根拠を選ぶ。

(2) AG3, AG2をそれぞれAF, ACを用いて表す。

(3) ∠G3AB, ∠G2ACの角度を求める。

(4) ∠G3AG2 = ∠FACを示す。

これらの穴埋めを完成させる。

2. 解き方の手順

(1) △AFCと△ABEについて:

AF = AB (正三角形AFBより)

AC = AE (正三角形CEAより)

∠FAC = ∠FAB + ∠BAC = 60° + ∠BAC

∠BAE = ∠CAE + ∠BAC = 60° + ∠BAC

よって、∠FAC = ∠BAE

したがって、2組の辺の長さとその間の角がそれぞれ等しいので、△AFC ≡ △ABE

(2) AG3とAG2について:

正三角形の重心は、頂点から対辺の中点までの距離を2:1に内分する点です。正三角形の一辺の長さを$a$とすると、頂点から対辺の中点までの距離(高さ)は$\frac{\sqrt{3}}{2}a$なので、重心までの距離は$\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a = \frac{a}{\sqrt{3}}$となる。したがって、$AG_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}AF = \frac{\sqrt{3}}{3}AF$。$AG_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}AC = \frac{\sqrt{3}}{3}AC$

(3) ∠G3ABと∠G2ACについて:

正三角形の重心は、頂点と対辺の中点を結ぶ線分上にあり、その線分は頂点の角を二等分します。

よって、∠G3AB = 60° / 2 = 30°

∠G2AC = 60° / 2 = 30°

(4) ∠G3AG2 = ∠FACについて:

∠G3AG2 = ∠G3AB + ∠BAC + ∠CAG2 = 30° + ∠BAC + 30° = 60° + ∠BAC

∠FAC = ∠FAB + ∠BAC = 60° + ∠BAC

したがって、∠G3AG2 = ∠FAC

3. 最終的な答え

ア：①

イ：3

ウ：3

エ：3

オ：3

カキ：30

クケ：30