三角形ABCがあり、各辺をある比率で内分する点をG1, G2, G3とする。三角形G1G2G3は正三角形となる。このとき、AB=3, AC=2, ∠BAC=30°の場合に、正三角形G1G2G3の一辺の長さを求める。問題文中の空欄「コ/サ」「シ/ス」「セン/タ」を埋めることが目的です。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、各辺をある比率で内分する点をG1, G2, G3とする。三角形G1G2G3は正三角形となる。このとき、AB=3, AC=2, ∠BAC=30°の場合に、正三角形G1G2G3の一辺の長さを求める。問題文中の空欄「コ/サ」「シ/ス」「セン/タ」を埋めることが目的です。

2. 解き方の手順

まず、問題文の前半部分にある相似比や線分の比を特定する必要があります。

* ∠AG3G2∽△AFC より、相似比は√3:1です。

* よって、コ=3, サ=4と求まります。

* G2G3 = √(シ/ス) FC

* G3G1 = √(シ/ス) AD

* G1G2 = √(シ/ス) BE

* したがって、シ=4, ス=7と求まります。

次に、(2)の問題を解きます。

余弦定理を用いてBCの長さを求めます。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos∠BAC$

$BC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 * 3 * 2 * cos30°$

$BC^2 = 9 + 4 - 12 * \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 13 - 6\sqrt{3}$

次に正三角形の一辺の長さを求めます。

正三角形の一辺の長さは、$\sqrt{\frac{4}{7} (13 - 6\sqrt{3})} = \sqrt{\frac{52-24\sqrt{3}}{7}}$となります。

$\sqrt{\frac{4}{7}} BC$なので正三角形G1G2G3の一辺の長さは、

$\sqrt{\frac{4}{7} BC^2} = \sqrt{\frac{4}{7}(13 - 6\sqrt{3})} = \sqrt{\frac{52 - 24\sqrt{3}}{7}}$

よって、$\sqrt{\frac{52-24\sqrt{3}}{7}}=\sqrt{\frac{52}{7} - \frac{24\sqrt{3}}{7}} = \sqrt{\frac{\text{セン}}{\text{タ}}}$　となるため、セン=52 - 24√3, タ=7となります。

3. 最終的な答え

正三角形G1G2G3の一辺の長さは$\sqrt{\frac{52-24\sqrt{3}}{7}}$です。

セン=52 - 24√3

タ=7