三角形ABCにおいて、$AB=7, BC=13, CA=8$ である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。 (1) 角BACの角度を求め、三角形ABCの面積を求める。 (2) 三角形ABCの面積は三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和であることを利用して、線分ADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7, BC=13, CA=8$ である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。

(1) 角BACの角度を求め、三角形ABCの面積を求める。

(2) 三角形ABCの面積は三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和であることを利用して、線分ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いて$\cos{\angle BAC}$を求める。

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$

よって、$\angle BAC = 120^{\circ}$

次に、三角形ABCの面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{120^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$

(2)

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 7:8$

$BC=13$であるから、$BD = \frac{7}{15}BC = \frac{7}{15} \cdot 13 = \frac{91}{15}$、$DC = \frac{8}{15}BC = \frac{8}{15} \cdot 13 = \frac{104}{15}$

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$ より

$\frac{1}{2}AB \cdot AC \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2}AB \cdot AD \sin{\frac{\angle BAC}{2}} + \frac{1}{2}AC \cdot AD \sin{\frac{\angle BAC}{2}}$

$7 \cdot 8 \sin{120^{\circ}} = 7 \cdot AD \sin{60^{\circ}} + 8 \cdot AD \sin{60^{\circ}}$

$56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$56 = 7AD + 8AD = 15AD$

$AD = \frac{56}{15}$

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 120^{\circ}$

$\triangle ABC = 14\sqrt{3}$

$AD = \frac{56}{15}$