与えられた不等式 $|2x+5| < -3x$ を満たす $x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x+5| < -3x$ を満たす $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式であるため、場合分けをして考える。

(i) $2x+5 \geq 0$ つまり $x \geq -\frac{5}{2}$ のとき

$|2x+5| = 2x+5$ となるので、不等式は

$2x+5 < -3x$

$5x < -5$

$x < -1$

この場合、$x \geq -\frac{5}{2}$ と $x < -1$ を満たす $x$ の範囲は $-\frac{5}{2} \leq x < -1$ である。

(ii) $2x+5 < 0$ つまり $x < -\frac{5}{2}$ のとき

$|2x+5| = -(2x+5) = -2x-5$ となるので、不等式は

$-2x-5 < -3x$

$x < 5$

この場合、$x < -\frac{5}{2}$ と $x < 5$ を満たす $x$ の範囲は $x < -\frac{5}{2}$ である。

(i), (ii) の結果を合わせると、

$x < -\frac{5}{2}$ または $-\frac{5}{2} \leq x < -1$

したがって、$x < -1$ となる。

3. 最終的な答え

$x < -1$