右図の三角柱 ABC-DEE において、DE, DF の中点をそれぞれ P, Q とする。立体 ABCPQ の体積を求めよ。ただし、三角形 ABC は正三角形である。図から、AC=4, AD=6 が読み取れる。

1. 問題の内容

右図の三角柱 ABC-DEE において、DE, DF の中点をそれぞれ P, Q とする。立体 ABCPQ の体積を求めよ。ただし、三角形 ABC は正三角形である。図から、AC=4, AD=6 が読み取れる。

2. 解き方の手順

まず、三角柱 ABC-DEF の体積を求める。

底面は正三角形 ABC なので、面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$。

高さは AD = 6 なので、三角柱の体積は $4\sqrt{3} \times 6 = 24\sqrt{3}$。

次に、立体 ABCPQ の体積を求める。

立体 ABCPQ は、三角柱 ABC-DEF から、三角錐 C-PFQ を切り取ったものである。

したがって、立体 ABCPQ の体積は、$V_{ABCPQ} = V_{ABC-DEF} - V_{C-PFQ}$ となる。

三角錐 C-PFQ の体積を求める。

底面 PFQ の面積を求める。P, Q はそれぞれ DE, DF の中点なので、三角形 PFQ は三角形 DEF の $\frac{1}{4}$ の面積となる。

三角形 DEF は三角形 ABC と合同なので、面積は $4\sqrt{3}$。よって、三角形 PFQ の面積は $\frac{1}{4} \times 4\sqrt{3} = \sqrt{3}$。

三角錐 C-PFQ の高さは、点 C から平面 DEF までの距離、すなわち CD = 4 である。

よって、三角錐 C-PFQ の体積は $\frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times 4 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$。

したがって、立体 ABCPQ の体積は $24\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{72\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{3} = \frac{68\sqrt{3}}{3}$。

3. 最終的な答え

$\frac{68\sqrt{3}}{3}$