一辺の長さが1である正四角錐OABCDにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とする。辺OAの中点をMとするとき、以下の問題を解く。 (1) $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MC}$をそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。 (2) 内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}$, $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC}$ をそれぞれ求めよ。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

一辺の長さが1である正四角錐OABCDにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とする。辺OAの中点をMとするとき、以下の問題を解く。

(1) $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MC}$をそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。

(2) 内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}$, $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC}$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表す。

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$ である。

$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

$\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM} = \vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}$

(2) 内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}$, $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC}$ を求める。

正四角錐OABCDにおいて、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ であり、$\angle BOC = 90^\circ$ より、$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

$\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = (\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a})$

$= \vec{b} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{1}{4}|\vec{a}|^2$

ここで、$\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

よって、

$\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = 0 - 0 - 0 + \frac{1}{4}(1)^2 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{MB} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$、$\overrightarrow{MC} = \vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}$

(2) $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$、$\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = \frac{1}{4}$