$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a+b\sqrt{c}}$ の形をしている二重根号を外すことを目指します。

$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}$ となるような$x$と$y$を見つけたいです。

$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$ です。

よって、$x+y=6$ かつ $xy=5$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=5$, $y=1$ が条件を満たすことがわかります。

$\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^2} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}$

$\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = |\sqrt{5}+1| = \sqrt{5}+1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}+1$