3枚の正方形の紙ア、イ、ウがあり、それぞれの1辺の長さの差は3cmずつである。イの面積が80cm²のとき、アとウの面積の差を求める。

1. 問題の内容

3枚の正方形の紙ア、イ、ウがあり、それぞれの1辺の長さの差は3cmずつである。イの面積が80cm²のとき、アとウの面積の差を求める。

2. 解き方の手順

まず、イの1辺の長さを求める。イの面積が80cm²なので、イの1辺の長さは$\sqrt{80}$cmである。

アの1辺の長さはイの1辺の長さより3cm短く、ウの1辺の長さはイの1辺の長さより3cm長い。

したがって、アの1辺の長さは$\sqrt{80} - 3$cm、ウの1辺の長さは$\sqrt{80} + 3$cmである。

アの面積は$(\sqrt{80} - 3)^2$、ウの面積は$(\sqrt{80} + 3)^2$である。

アとウの面積の差は、$(\sqrt{80} + 3)^2 - (\sqrt{80} - 3)^2$で求められる。

この式を展開して整理する。

$(\sqrt{80} + 3)^2 - (\sqrt{80} - 3)^2 = (80 + 6\sqrt{80} + 9) - (80 - 6\sqrt{80} + 9)$

$= 80 + 6\sqrt{80} + 9 - 80 + 6\sqrt{80} - 9 = 12\sqrt{80}$

$80 = 16 \times 5$なので、$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

したがって、$12\sqrt{80} = 12 \times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$

$(\sqrt{80} + 3)^2 - (\sqrt{80} - 3)^2 = (\sqrt{80} + 3 + \sqrt{80} - 3)(\sqrt{80} + 3 - \sqrt{80} + 3) = (2\sqrt{80})(6) = 12\sqrt{80}$

イの面積は80 cm²なので、イの一辺の長さは $\sqrt{80}$ cm。

アの一辺の長さは $\sqrt{80}-3$ cm。

ウの一辺の長さは $\sqrt{80}+3$ cm。

アの面積は $(\sqrt{80}-3)^2$ cm²。

ウの面積は $(\sqrt{80}+3)^2$ cm²。

面積の差は $(\sqrt{80}+3)^2-(\sqrt{80}-3)^2 = (\sqrt{80}+3+\sqrt{80}-3)(\sqrt{80}+3-\sqrt{80}+3) = (2\sqrt{80})(6) = 12\sqrt{80} = 12\sqrt{16\times 5} = 12\times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$

別解として、正方形の面積の差は $(a+3)^2 - (a-3)^2 = a^2+6a+9-(a^2-6a+9) = 12a$であり、$a^2 = 80$なので$a = \sqrt{80}$。

したがって、$12\sqrt{80} = 12 \times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$。

さらに別解として、$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$の公式を使うと、$(\sqrt{80} + 3)^2 - (\sqrt{80} - 3)^2 = ((\sqrt{80} + 3) - (\sqrt{80} - 3))((\sqrt{80} + 3) + (\sqrt{80} - 3)) = (6)(2\sqrt{80}) = 12\sqrt{80} = 12\sqrt{16\cdot 5} = 12(4\sqrt{5}) = 48\sqrt{5}$.

別の解き方:

ウの面積からアの面積を引くと、

$(\sqrt{80} + 3)^2 - (\sqrt{80} - 3)^2 = (80+6\sqrt{80}+9) - (80-6\sqrt{80}+9) = 12\sqrt{80}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

$12 \times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$

しかし、この問題はアとウの面積の差を具体的な数値で求めて欲しいのだと考えられる。

$(\sqrt{80}+3)^2 - (\sqrt{80}-3)^2 = (\sqrt{80}+3+\sqrt{80}-3)(\sqrt{80}+3-\sqrt{80}+3) = 2\sqrt{80} \times 6 = 12\sqrt{80} = 12\sqrt{16 \times 5} = 12 \times 4 \sqrt{5} = 48\sqrt{5}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$. 正方形イの一辺は $4\sqrt{5}$.

正方形アの一辺は $4\sqrt{5} - 3$. 正方形ウの一辺は $4\sqrt{5} + 3$.

ウの面積 - アの面積 = $(4\sqrt{5} + 3)^2 - (4\sqrt{5} - 3)^2 = 16(5) + 24\sqrt{5} + 9 - (16(5) - 24\sqrt{5} + 9) = 80 + 24\sqrt{5} + 9 - 80 + 24\sqrt{5} - 9 = 48\sqrt{5} \approx 48(2.236) = 107.328$

アの一辺の長さを $x$ とすると、イの一辺の長さは $x+3$、ウの一辺の長さは $x+6$ と表せる。

イの面積が80なので、$(x+3)^2 = 80$. よって $x+3 = \sqrt{80}$. $x = \sqrt{80} - 3$.

アの面積は $x^2 = (\sqrt{80}-3)^2$.

ウの面積は $(x+6)^2 = (\sqrt{80}-3+6)^2 = (\sqrt{80}+3)^2$.

ウの面積 - アの面積 $= (\sqrt{80}+3)^2 - (\sqrt{80}-3)^2 = (80+6\sqrt{80}+9) - (80-6\sqrt{80}+9) = 12\sqrt{80}$.

$12\sqrt{80} = 12 \sqrt{16 \times 5} = 12 \times 4 \sqrt{5} = 48 \sqrt{5} \approx 48 \times 2.236 = 107.328$

アとウの面積の差は $12 \sqrt{80} = 48 \sqrt{5} \approx 107.33$ cm².

3. 最終的な答え

$48\sqrt{5}$ cm²

約107.3 cm²