1次不定方程式 $3x - 5y = 1$ を満たす自然数 $x, y$ の中で、$x$ が2桁の最小の数となるときの $y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

1次不定方程式 $3x - 5y = 1$ を満たす自然数 $x, y$ の中で、$x$ が2桁の最小の数となるときの $y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3x - 5y = 1$ の整数解を一つ見つけます。

$x = 2$, $y = 1$ が一つの解です。

したがって、

$3(2) - 5(1) = 1$

という関係が成り立ちます。

$3x - 5y = 1$ と $3(2) - 5(1) = 1$ の差をとると、

$3x - 5y - (3(2) - 5(1)) = 0$

$3(x - 2) - 5(y - 1) = 0$

$3(x - 2) = 5(y - 1)$

3 と 5 は互いに素なので、$x - 2$ は 5 の倍数でなければなりません。

そこで、$k$ を整数として、$x - 2 = 5k$ と書けます。

$x = 5k + 2$

このとき、$3(5k) = 5(y - 1)$ より、$3k = y - 1$ となり、$y = 3k + 1$ となります。

したがって、

$x = 5k + 2$

$y = 3k + 1$

が一般解となります。

$x$ が2桁の最小の数となるのは、$x = 10$ のときです。

$10 = 5k + 2$ より、$5k = 8$。したがって、$k = 8/5$ となりますが、これは整数ではありません。

$x$ は自然数なので、$5k + 2 \geq 10$ となる最小の整数 $k$ を探します。

$5k + 2 \geq 10$

$5k \geq 8$

$k \geq 8/5 = 1.6$

したがって、$k = 2$ のとき、$x = 5(2) + 2 = 12$ となります。

このとき、$y = 3(2) + 1 = 7$ となります。

3. 最終的な答え

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