与えられた多項式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (3 - y)x - 6y^2 + y + 2$

次に、$x$ の係数である $(3 - y)$ と定数項である $(-6y^2 + y + 2)$ に注目して、与式が $(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定します。

このとき、$ac = -6$、$ad + bc = 1$、$bd = 2$ となる $a, b, c, d$ を探します。

$x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2 = (x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較して、次の関係式を得ます。

$a + c = -1$

$ac = -6$

$b + d = 3$

$ad + bc = 1$

$bd = 2$

$ac = -6$ と $a+c = -1$ より、$a = -3$、$c = 2$ とします。

$bd = 2$ と $b+d = 3$ より、$b = 1$、$d = 2$ とします。

これらの値を $ad + bc = 1$ に代入して確認すると、

$(-3)(2) + (1)(2) = -6 + 2 = -4 \neq 1$ となり、条件を満たしません。

$a + c = -1$

$ac = -6$ より、$a$ と $c$ は $t^2 + t - 6 = 0$ の解です。

$(t + 3)(t - 2) = 0$ なので、$a = -3$、$c = 2$ または $a = 2$、$c = -3$ です。

$b + d = 3$

$bd = 2$ より、$b$ と $d$ は $t^2 - 3t + 2 = 0$ の解です。

$(t - 1)(t - 2) = 0$ なので、$b = 1$、$d = 2$ または $b = 2$、$d = 1$ です。

場合分けして、$ad + bc = 1$ となる組み合わせを探します。

1. $a = -3, c = 2, b = 1, d = 2$: $ad + bc = (-3)(2) + (1)(2) = -6 + 2 = -4 \neq 1$

2. $a = -3, c = 2, b = 2, d = 1$: $ad + bc = (-3)(1) + (2)(2) = -3 + 4 = 1$ （条件を満たす）

3. $a = 2, c = -3, b = 1, d = 2$: $ad + bc = (2)(2) + (-3)(1) = 4 - 3 = 1$ （条件を満たす）

4. $a = 2, c = -3, b = 2, d = 1$: $ad + bc = (2)(1) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4 \neq 1$

上記の計算より、$(a, c, b, d) = (-3, 2, 2, 1)$ または $(a, c, b, d) = (2, -3, 1, 2)$ となります。

したがって、因数分解は次のいずれかになります。

$(x - 3y + 2)(x + 2y + 1)$ または $(x + 2y + 1)(x - 3y + 2)$

$x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2 = (x - 3y + 2)(x + 2y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x - 3y + 2)(x + 2y + 1)$