$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、それぞれの項を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1) + 6n}{6}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 6)}{6}$

$= \frac{n(2(2n^2+3n+1) - 9n - 9 + 6)}{6}$

$= \frac{n(4n^2+6n+2 - 9n - 3)}{6}$

$= \frac{n(4n^2 - 3n - 1)}{6}$

$= \frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$