不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解きます。

$3(x-1) < 2(x+a)$

$3x - 3 < 2x + 2a$

$3x - 2x < 2a + 3$

$x < 2a + 3$

$x < 2a + 3$ を満たす最大の整数が3であるという条件から、次の不等式が成り立ちます。

$3 < 2a + 3 \leq 4$

それぞれの辺から3を引きます。

$3 - 3 < 2a + 3 - 3 \leq 4 - 3$

$0 < 2a \leq 1$

それぞれの辺を2で割ります。

$0/2 < 2a/2 \leq 1/2$

$0 < a \leq 1/2$

3. 最終的な答え

$0 < a \leq \frac{1}{2}$