関数 $f(x) = 3x^2 - 6ax + 5$ （定義域 $0 \le x \le 4$）について、最大値と最小値を$a$の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x^2 - 6ax + 5$ （定義域 $0 \le x \le 4$）について、最大値と最小値を$a$の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

まず、$f(x)$を平方完成します。

$f(x) = 3(x^2 - 2ax) + 5 = 3(x-a)^2 - 3a^2 + 5$

軸は $x=a$ です。定義域 $0 \le x \le 4$ の範囲で最大値を考えるため、$a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a < 2$ のとき、$x=0$ で最大になる。

$f(0) = 3(0)^2 - 6a(0) + 5 = 5$

(ii) $a = 2$ のとき、$x=0, x=4$ で最大になる。

$f(0) = 5$

$f(4) = 3(4)^2 - 6a(4) + 5 = 48 - 24a + 5 = 53 - 24a = 53 - 24(2) = 5$

(iii) $a > 2$ のとき、$x=4$ で最大になる。

$f(4) = 3(4)^2 - 6a(4) + 5 = 48 - 24a + 5 = 53 - 24a$

したがって、

* $a \le 2$ のとき、最大値は $5$

* $a \ge 2$ のとき、最大値は $53-24a$

(2) 最小値を求める。

$f(x) = 3(x-a)^2 - 3a^2 + 5$

軸は $x=a$ です。定義域 $0 \le x \le 4$ の範囲で最小値を考えるため、$a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき、$x=0$ で最小になる。

$f(0) = 5$

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき、$x=a$ で最小になる。

$f(a) = -3a^2 + 5$

(iii) $a > 4$ のとき、$x=4$ で最小になる。

$f(4) = 53 - 24a$

したがって、

* $a < 0$ のとき、最小値は $5$

* $0 \le a \le 4$ のとき、最小値は $-3a^2+5$

* $a > 4$ のとき、最小値は $53-24a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

* $a \le 2$ のとき、$5$

* $a \ge 2$ のとき、$53 - 24a$

(2) 最小値

* $a < 0$ のとき、$5$

* $0 \le a \le 4$ のとき、$-3a^2 + 5$

* $a > 4$ のとき、$53 - 24a$