問題は、次の2つの数列の和を求めることです。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1)$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの数列の和を求めることです。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3) = 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n = n(n+1) + 3n = n^2 + n + 3n = n^2 + 4n = n(n+4)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k + 1) = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1) + 6n}{6}$

$= \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 6]}{6}$

$= \frac{n[2(2n^2+3n+1) - 9n - 9 + 6]}{6}$

$= \frac{n[4n^2 + 6n + 2 - 9n - 3]}{6}$

$= \frac{n(4n^2 - 3n - 1)}{6}$

$= \frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+4)$

(2) $\frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$