画像に写っている数学の問題は3問あります。 * 問題105 (1): $\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ を求めよ。 * 問題105 (2): $\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1)$ を求めよ。 * 問題106: $3^2 + 6^2 + \dots + (3n)^2$ を求めよ。 * 問題107: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n+1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は3問あります。

* 問題105 (1): $\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ を求めよ。

* 問題105 (2): $\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1)$ を求めよ。

* 問題106: $3^2 + 6^2 + \dots + (3n)^2$ を求めよ。

* 問題107: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n+1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題105 (1):

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n = n(n+1) + 3n = n^2 + n + 3n = n^2 + 4n = n(n+4)$

問題105 (2):

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1) = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1) + 6n}{6} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 6)}{6}$

$= \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) - 9n - 9 + 6)}{6} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 9n - 3)}{6} = \frac{n(4n^2 - 3n - 1)}{6} = \frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$

問題106:

$3^2 + 6^2 + \dots + (3n)^2$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k)^2 = \sum_{k=1}^{n} 9k^2 = 9\sum_{k=1}^{n} k^2 = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2}$

問題107:

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n+1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$= 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2(2n+1) + 3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

3. 最終的な答え

* 問題105 (1): $n(n+4)$

* 問題105 (2): $\frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$

* 問題106: $\frac{3n(n+1)(2n+1)}{2}$

* 問題107: $\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$