与えられた2つの2次関数のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。 (1) $y = 3x^2 - 9x - 4$ (2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。

(1) $y = 3x^2 - 9x - 4$

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

2次関数の頂点の座標と軸の方程式を求めるには、まず与えられた式を平方完成する必要があります。平方完成を行うことで、頂点の座標 $(p, q)$ が明確になり、軸の方程式 $x=p$ もわかります。

(1) $y = 3x^2 - 9x - 4$ の場合：

まず、$x^2$ の係数である3で、$x$の項までをくくります。

$y = 3(x^2 - 3x) - 4$

次に、括弧の中を平方完成します。$x$ の係数 $-3$ の半分である $-\frac{3}{2}$ を用いて、

$y = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4$

$y = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{9}{4}\right) - 4$

$y = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{27}{4} - \frac{16}{4}$

$y = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{43}{4}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, -\frac{43}{4}\right)$ であり、軸の方程式は $x = \frac{3}{2}$ です。

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{1}{2}$ の場合：

まず、$x^2$ の係数である $-\frac{1}{2}$ で、$x$の項までをくくります。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 6x) - \frac{1}{2}$

次に、括弧の中を平方完成します。$x$ の係数 $-6$ の半分である $-3$ を用いて、

$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right)(-3)^2 - \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + \frac{1}{2}(9) - \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + \frac{8}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + 4$

したがって、頂点の座標は $(3, 4)$ であり、軸の方程式は $x = 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $\left(\frac{3}{2}, -\frac{43}{4}\right)$, 軸の方程式: $x = \frac{3}{2}$

(2) 頂点の座標: $(3, 4)$, 軸の方程式: $x = 3$