与えられた式 $ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c) = ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$

次に、この式を整理します。

$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a = ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$

$= -a^2b + a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$

$a$について整理します。

$= a^2(c-b) + a(b^2 - c^2) + (bc^2 - b^2c)$

$= a^2(c-b) + a(b-c)(b+c) + bc(c-b)$

共通因数$(c-b)$でくくります。

$= (c-b)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= (c-b)[a^2 - ab - ac + bc]$

$= (c-b)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (c-b)(a-b)(a-c)$

$= -(b-c)(a-b)(a-c)$

$= (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$