(1) 整式 $x^n$ を $x^5 - 1$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) 整式 $x^{4n} + x^{3n} + x^{2n} + x^n$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) 整式 $x^n$ を $x^5 - 1$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) 整式 $x^{4n} + x^{3n} + x^{2n} + x^n$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^5 - 1$ で割った余りは、高々4次の多項式となる。

$x^5 = 1$ (mod $x^5 - 1$) を利用する。

$n$ を5で割った余りを $r$ とすると、$n = 5q + r$ ($q$ は整数、$0 \le r < 5$) と表せる。

よって、$x^n = x^{5q + r} = (x^5)^q \cdot x^r \equiv 1^q \cdot x^r \equiv x^r$ (mod $x^5 - 1$)

したがって、$x^n$ を $x^5 - 1$ で割った余りは、$x^r$ である。ここで、$r$ は $n$ を 5 で割った余りである。

(2)

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ を満たす $x$ を考える。このとき、$x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ であるから、$x^5 - 1 = 0$ かつ $x \ne 1$。よって、$x^5 = 1$。

$x^{4n} + x^{3n} + x^{2n} + x^n$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割った余りを $ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

$x^{4n} + x^{3n} + x^{2n} + x^n = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($Q(x)$ は多項式)

$x^5 = 1$ より、$x^{4n} = (x^5)^{0 \cdot n} \cdot x^{4n \ mod \ 5}, x^{3n} = (x^5)^{0 \cdot n} \cdot x^{3n \ mod \ 5}, x^{2n} = (x^5)^{0 \cdot n} \cdot x^{2n \ mod \ 5}, x^{n} = (x^5)^{0 \cdot n} \cdot x^{n \ mod \ 5}$

そこで、$n$ を 5 で割った余りを $r$ とすると、$x^n \equiv x^r$ (mod $x^5 - 1$) であるから、$x^{4n} \equiv x^{4r}, x^{3n} \equiv x^{3r}, x^{2n} \equiv x^{2r}, x^n \equiv x^r$ (mod $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$)

したがって、$x^{4n} + x^{3n} + x^{2n} + x^n \equiv x^{4r} + x^{3r} + x^{2r} + x^r$ (mod $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$)

$n$ を 5 で割った余り $r$ で場合分けする。

(i) $r = 0$ のとき、$x^{4r} + x^{3r} + x^{2r} + x^r = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

(ii) $r = 1$ のとき、$x^{4r} + x^{3r} + x^{2r} + x^r = x^4 + x^3 + x^2 + x = -1$

(iii) $r = 2$ のとき、$x^{4r} + x^{3r} + x^{2r} + x^r = x^8 + x^6 + x^4 + x^2 = x^3 + x + x^4 + x^2 = x^4 + x^3 + x^2 + x = -1$

(iv) $r = 3$ のとき、$x^{4r} + x^{3r} + x^{2r} + x^r = x^{12} + x^9 + x^6 + x^3 = x^2 + x^4 + x + x^3 = x^4 + x^3 + x^2 + x = -1$

(v) $r = 4$ のとき、$x^{4r} + x^{3r} + x^{2r} + x^r = x^{16} + x^{12} + x^8 + x^4 = x + x^2 + x^3 + x^4 = -1$

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 4$ または $-1$。これは定数であるから、$a = b = c = 0$。

$n \equiv 0$ (mod 5) のとき、余りは 4

$n \not\equiv 0$ (mod 5) のとき、余りは -1

3. 最終的な答え

(1) $x^n$ を $x^5 - 1$ で割った余りは、$x^r$ (ただし、$r$ は $n$ を 5 で割った余り)

(2) $x^{4n} + x^{3n} + x^{2n} + x^n$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割った余りは、

$n \equiv 0$ (mod 5) のとき 4

$n \not\equiv 0$ (mod 5) のとき -1