(7) $k$ を定数とし、放物線 $C: y = x^2 - 4x + k$ を考える。$C$ が点 $(1, 6)$ を通るとき、$C$ の頂点の座標を求める。 (8) 放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に 3 平行移動した放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(7) $k$ を定数とし、放物線 $C: y = x^2 - 4x + k$ を考える。$C$ が点 $(1, 6)$ を通るとき、$C$ の頂点の座標を求める。

(8) 放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に 3 平行移動した放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(7) まず、$C$ が $(1, 6)$ を通ることから $k$ の値を求める。

$y = x^2 - 4x + k$ に $x = 1, y = 6$ を代入すると、

$6 = 1^2 - 4(1) + k$

$6 = 1 - 4 + k$

$k = 6 - 1 + 4 = 9$

したがって、$y = x^2 - 4x + 9$

次に、この放物線を平方完成して頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 4x + 9 = (x - 2)^2 - 4 + 9 = (x - 2)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(2, 5)$ である。

(8) 放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に 3 平行移動すると、

$x$ は $x - 2$ に、 $y$ は $y - 3$ に置き換わる。

したがって、

$y - 3 = 2(x - 2)^2 + 4(x - 2) + 1$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + 4x - 8 + 1 + 3$

$y = 2x^2 - 8x + 8 + 4x - 8 + 4$

$y = 2x^2 - 4x + 4$

3. 最終的な答え

(7) 頂点の座標は $(2, 5)$ である。

(8) 放物線の方程式は $y = 2x^2 - 4x + 4$ である。