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与えられた数式を展開し、整理することです。 与えられた数式は $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$ です。

代数学式の展開因数分解多項式
2025/8/8

1. 問題の内容

与えられた数式を展開し、整理することです。
与えられた数式は (x2+x+1)(x2−x+1)(x4−x2+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1) です。

2. 解き方の手順

まず、最初の２つの括弧を展開します。
(x2+x+1)(x2−x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) は、和と差の積の公式 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 を利用すると、(x2+1+x)(x2+1−x)=(x2+1)2−x2(x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+1)^2 - x^2 となります。
(x2+1)2−x2=x4+2x2+1−x2=x4+x2+1(x^2+1)^2 - x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = x^4 + x^2 + 1
したがって、元の式は (x4+x2+1)(x4−x2+1)(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1) となります。
これも同様に (x4+1+x2)(x4+1−x2)=(x4+1)2−(x2)2=(x4+1)2−x4(x^4+1+x^2)(x^4+1-x^2) = (x^4+1)^2 - (x^2)^2 = (x^4+1)^2 - x^4 となります。
(x4+1)2−x4=x8+2x4+1−x4=x8+x4+1(x^4+1)^2 - x^4 = x^8 + 2x^4 + 1 - x^4 = x^8 + x^4 + 1

3. 最終的な答え

x8+x4+1x^8 + x^4 + 1

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