2次関数 $f(x) = 2x^2 - 2ax + b$ （$a$, $b$ は定数）があり、$y = f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標は $-1$ である。$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $M$ を $a$ を用いて表せ。 (3) $a > 0$ とする。$M - m = 8a$ を満たす $a$ の値を求めよ。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 2ax + b$ （$a$, $b$ は定数）があり、$y = f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標は $-1$ である。$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $M$ を $a$ を用いて表せ。

(3) $a > 0$ とする。$M - m = 8a$ を満たす $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 - 2ax + b = 2(x^2 - ax) + b = 2(x - \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 + b = 2(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + b$

頂点の $y$ 座標は $-\frac{a^2}{2} + b$ なので、$-\frac{a^2}{2} + b = -1$

したがって、$b = \frac{a^2}{2} - 1$

(2)

$f(x) = 2(x - \frac{a}{2})^2 - 1$ なので、軸は $x = \frac{a}{2}$。

定義域は $-1 \le x \le 2$。

場合分けをします。

(i) $\frac{a}{2} \le -1$ つまり $a \le -2$ のとき

$f(x)$ は単調増加なので、$x=2$ で最大値 $M$ をとる。

$M = f(2) = 2(2 - \frac{a}{2})^2 - 1 = 2(4 - 2a + \frac{a^2}{4}) - 1 = 8 - 4a + \frac{a^2}{2} - 1 = \frac{a^2}{2} - 4a + 7$

(ii) $-1 < \frac{a}{2} < 2$ つまり $-2 < a < 4$ のとき

$f(x)$ は $x = \frac{a}{2}$ で最小値 $-1$ をとる。

最大値は $x = -1$ または $x = 2$ でとる。

$f(-1) = 2(-1 - \frac{a}{2})^2 - 1 = 2(1 + a + \frac{a^2}{4}) - 1 = 2 + 2a + \frac{a^2}{2} - 1 = \frac{a^2}{2} + 2a + 1$

$f(2) = \frac{a^2}{2} - 4a + 7$

さらに場合分けをします。

(a) $\frac{a^2}{2} + 2a + 1 \ge \frac{a^2}{2} - 4a + 7$ つまり $6a \ge 6$, $a \ge 1$ のとき、$M = \frac{a^2}{2} + 2a + 1$

(b) $\frac{a^2}{2} + 2a + 1 < \frac{a^2}{2} - 4a + 7$ つまり $6a < 6$, $a < 1$ のとき、$M = \frac{a^2}{2} - 4a + 7$

(iii) $\frac{a}{2} \ge 2$ つまり $a \ge 4$ のとき

$f(x)$ は単調減少なので、$x=-1$ で最大値 $M$ をとる。

$M = f(-1) = \frac{a^2}{2} + 2a + 1$

まとめると

$a \le -2$ または $a < 1$ のとき $M = \frac{a^2}{2} - 4a + 7$

$a \ge 1$ のとき $M = \frac{a^2}{2} + 2a + 1$

(3)

$m = -1$

$M - m = M - (-1) = M + 1 = 8a$

$M = 8a - 1$

(i) $1 \le a$ のとき

$\frac{a^2}{2} + 2a + 1 = 8a - 1$

$\frac{a^2}{2} - 6a + 2 = 0$

$a^2 - 12a + 4 = 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}$

$1 \le a$ より $a = 6 - 4\sqrt{2}$ または $a = 6 + 4\sqrt{2}$

$4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656$

$6 - 4\sqrt{2} \approx 6 - 5.656 = 0.344 < 1$ なので不適

$6 + 4\sqrt{2} \approx 6 + 5.656 = 11.656 > 1$ なので $a = 6 + 4\sqrt{2}$ が解

(ii) $0 < a < 1$ のとき

$\frac{a^2}{2} - 4a + 7 = 8a - 1$

$\frac{a^2}{2} - 12a + 8 = 0$

$a^2 - 24a + 16 = 0$

$a = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 64}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{512}}{2} = \frac{24 \pm 16\sqrt{2}}{2} = 12 \pm 8\sqrt{2}$

$0 < a < 1$ より $a = 12 - 8\sqrt{2}$

$8\sqrt{2} \approx 8 \times 1.414 = 11.312$

$12 - 8\sqrt{2} \approx 12 - 11.312 = 0.688 < 1$ なので適する

$a = 12 - 8\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $b = \frac{a^2}{2} - 1$

(2) $a < 1$ のとき $M = \frac{a^2}{2} - 4a + 7$, $a \ge 1$ のとき $M = \frac{a^2}{2} + 2a + 1$

(3) $a = 12 - 8\sqrt{2}$ または $a = 6 + 4\sqrt{2}$