2次関数 $f(x) = 2x^2 - 2ax + b$ (a, bは定数) があり、$y = f(x)$ のグラフの頂点のy座標は -1 である。$-1 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $M$ を $a$ を用いて表せ。 (3) $a > 0$ とする。$M - m = 8a$ を満たす $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 2ax + b$ (a, bは定数) があり、$y = f(x)$ のグラフの頂点のy座標は -1 である。$-1 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $M$ を $a$ を用いて表せ。

(3) $a > 0$ とする。$M - m = 8a$ を満たす $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = 2(x^2 - ax) + b = 2\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b = 2\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{2} + b$

頂点のy座標は $-1$ なので、

$-\frac{a^2}{2} + b = -1$

$b = \frac{a^2}{2} - 1$

(2) $f(x) = 2\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - 1$

軸は $x = \frac{a}{2}$。 定義域は $-1 \leq x \leq 2$ である。

i) $\frac{a}{2} \leq 1$ つまり $a \leq 2$ のとき

$x = 2$ で最大値をとる。

$M = f(2) = 2(2^2) - 2a(2) + b = 8 - 4a + \frac{a^2}{2} - 1 = \frac{a^2}{2} - 4a + 7$

ii) $\frac{a}{2} > 1$ つまり $a > 2$ のとき

$x = -1$ で最大値をとる。

$M = f(-1) = 2(-1)^2 - 2a(-1) + b = 2 + 2a + \frac{a^2}{2} - 1 = \frac{a^2}{2} + 2a + 1$

(3) $a > 0$ であり、$M - m = 8a$

最小値は、$x = \frac{a}{2}$ でとるので、 $m = -1$ である。

i) $0 < a \leq 2$ のとき、$M = \frac{a^2}{2} - 4a + 7$ なので、

$\frac{a^2}{2} - 4a + 7 - (-1) = 8a$

$\frac{a^2}{2} - 12a + 8 = 0$

$a^2 - 24a + 16 = 0$

$a = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4(16)}}{2} = 12 \pm \sqrt{144 - 16} = 12 \pm \sqrt{128} = 12 \pm 8\sqrt{2}$

$a \leq 2$ を満たすものは存在しない。

ii) $a > 2$ のとき、$M = \frac{a^2}{2} + 2a + 1$ なので、

$\frac{a^2}{2} + 2a + 1 - (-1) = 8a$

$\frac{a^2}{2} - 6a + 2 = 0$

$a^2 - 12a + 4 = 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16}}{2} = 6 \pm \sqrt{36 - 4} = 6 \pm \sqrt{32} = 6 \pm 4\sqrt{2}$

$a > 2$ を満たすものは、$a = 6 + 4\sqrt{2}$ と $a = 6 - 4\sqrt{2}$ である。

$4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656$ なので、

$a = 6 + 4\sqrt{2} \approx 11.656$

$a = 6 - 4\sqrt{2} \approx 0.344$

$a>2$を満たすのは $6 + 4\sqrt{2}$ のみ.

3. 最終的な答え

$a = 6+4\sqrt{2}$