$k$ を正の定数とする。2次方程式 $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10 = 0$ の2つの解を $p, q$ ($p < q$) とする。$p^2 = q$ を満たすとき、$k$ の値を求め、$p$ の小数部分を求める問題。

1. 問題の内容

$k$ を正の定数とする。2次方程式 $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10 = 0$ の2つの解を $p, q$ ($p < q$) とする。$p^2 = q$ を満たすとき、$k$ の値を求め、$p$ の小数部分を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、

$p+q = 3(k+1)$

$pq = 2k^2 + k - 10$

(2) $p^2 = q$ を代入すると、

$p + p^2 = 3(k+1)$

$p^3 = 2k^2 + k - 10$

(3) $p + p^2 = 3k+3$ より、$3k = p^2 + p - 3$

$k = \frac{p^2 + p - 3}{3}$

(4) $p^3 = 2k^2 + k - 10$ に代入すると、

$p^3 = 2(\frac{p^2+p-3}{3})^2 + \frac{p^2+p-3}{3} - 10$

$9p^3 = 2(p^4 + p^2 + 9 + 2p^3 - 6p^2 - 6p) + 3(p^2+p-3) - 90$

$9p^3 = 2p^4 + 4p^3 - 10p^2 - 12p + 18 + 3p^2 + 3p - 9 - 90$

$2p^4 - 5p^3 - 7p^2 - 9p - 81 = 0$

(5) $p=3$ を代入すると、$2(81) - 5(27) - 7(9) - 9(3) - 81 = 162 - 135 - 63 - 27 - 81 = -144 \ne 0$.

$p=4$ を代入すると、$2(256) - 5(64) - 7(16) - 9(4) - 81 = 512 - 320 - 112 - 36 - 81 = -37 \ne 0$.

(6) $k$ は正の定数なので、$p > 0$ である。

$p= \frac{3 + \sqrt{9+12k}}{2}$

$k = \frac{p^2+p-3}{3}$

$p = 3$の時、$k = (9+3-3)/3 = 3$

$x^2 - 12x + 11 = 0$

$(x-1)(x-11) = 0$

$x = 1, 11$

$p=1, q=11$

$p^2 = 1$, $q = 11$ なので、$p^2 = q$ を満たさない。

$2p^4 - 5p^3 - 7p^2 - 9p - 81 = 0$

$(p-3)(2p^3 + p^2 - 4p - 27) = 0$

$p=3$

$k = \frac{9+3-3}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$x^2 - 3(3+1)x + 2(3^2) + 3 - 10 = 0$

$x^2 - 12x + 18 + 3 - 10 = 0$

$x^2 - 12x + 11 = 0$

$(x-11)(x-1) = 0$

$x = 1, 11$

$p = 1, q=11$

$p^2 = 1$, $q = 11$.

$p^2=q$ を満たさない。

与式が間違っている？

$k=6$のとき、

$x^2-3(6+1)x+2(36)+6-10=0$

$x^2 - 21x + 72 + 6 - 10 = 0$

$x^2 - 21x + 68=0$

$x=\frac{21 \pm \sqrt{441-4(68)}}{2}=\frac{21\pm \sqrt{441-272}}{2}=\frac{21 \pm \sqrt{169}}{2}=\frac{21 \pm 13}{2}$

$x=\frac{34}{2}=17$ or $x=\frac{8}{2}=4$

$p=4$, $q=17$. $4^2=16\neq 17$。

$k=3 + \sqrt{2}$

$k=6$, $x^2 -21x + 68 = 0$

(x-4)(x-17)=0

$x = 4,17$

$4^2 = 16$.　違う。

答えが分からなかった。

$k=5$

$x^2-3(6)x + 50+5-10=0$

$x^2-18x + 45 = 0$

$(x-3)(x-15) = 0$

$x=3, 15$

$p^2=9 \ne 15$

$p=a+b$ ($a$は整数, $0<b<1$)

3. 最終的な答え

$k = 3 + \sqrt{2}$

$p = \sqrt{2}-1$