三角形ABCにおいて、$c=3$, $a=3\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、辺 $b$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$c=3$, $a=3\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、辺 $b$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $b$ を求める。余弦定理は、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

である。与えられた値を代入すると、

$b^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(3\sqrt{3})(3)\cos 30^\circ$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$b^2 = (9 \cdot 3) + 9 - 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 27 + 9 - 9(3)$

$b^2 = 36 - 27$

$b^2 = 9$

$b>0$ より、$b=3$ である。

3. 最終的な答え

$b = 3$