与えられた定積分の計算を求めます。具体的には、$\int_{3}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx - \int_{3}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算を求めます。具体的には、$\int_{3}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx - \int_{3}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間を調整します。

$\int_{3}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx = - \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x) \, dx$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$- \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x) \, dx - \int_{3}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx$

定積分の和の性質を利用して、積分をまとめます。

$- \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x) \, dx - \int_{3}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx = - \int_{1}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2 + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{1}^{4} = (4^3 + 4^2) - (1^3 + 1^2) = (64 + 16) - (1 + 1) = 80 - 2 = 78$

最後に、符号を考慮して、最終的な答えを求めます。

$- \int_{1}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx = -78$

3. 最終的な答え

-78