3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ となるように、実数 $a, b, c$ を定める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ となるように、実数 $a, b, c$ を定める。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ の解と係数の関係を求める。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = 2$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 1$

$\alpha\beta\gamma = 1$

次に、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$, $\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2$, $\alpha^2\beta^2\gamma^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = 2^2 - 2(1) = 4 - 2 = 2$

$\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma) = 1^2 - 2(1)(2) = 1 - 4 = -3$

$\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = 1^2 = 1$

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ であるから、解と係数の関係より

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -a$

$\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2 = b$

$\alpha^2\beta^2\gamma^2 = -c$

したがって、

$-a = 2 \implies a = -2$

$b = -3$

$-c = 1 \implies c = -1$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -3$

$c = -1$