$a$ は正の定数とする。区間 $0 \leq x \leq a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。区間 $0 \leq x \leq a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、以下の問いに答える。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

したがって、この放物線は頂点が $(3, 9)$ で上に凸である。

(1) 最大値を求める。

$0 \leq x \leq a$ における最大値は、$a$ の値によって場合分けが必要である。

(i) $0 < a \leq 3$ のとき、最大値は $f(a) = -a^2 + 6a$ となる。

(ii) $a > 3$ のとき、最大値は $f(3) = 9$ となる。

(2) 最小値を求める。

$0 \leq x \leq a$ における最小値は、$a$ の値によって場合分けが必要である。

(i) $0 < a \leq 6$ のとき、最小値は $f(0) = 0$ となる。

(ii) $a > 6$ のとき、最小値は $f(a) = -a^2 + 6a$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a \leq 3$ のとき、$-a^2 + 6a$

$a > 3$ のとき、9

(2) 最小値

$0 < a \leq 6$ のとき、0

$a > 6$ のとき、$-a^2 + 6a$