$a$ は正の定数とする。区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ について、(1)最大値を求めよ。(2)最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ について、(1)最大値を求めよ。(2)最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

したがって、$f(x)$ は $x=2$ で最小値 $1$ をとる下に凸な放物線です。

(1) 最大値を求める。

$0 \le x \le a$ における最大値を考える。

場合分けが必要となる。軸 $x=2$ と区間 $[0, a]$ の位置関係で場合分けをする。

(i) $0 < a < 4$ のとき、 $x=0$ で最大となる。

$f(0) = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

(ii) $a \ge 4$ のとき、$x=a$ で最大となる。

$f(a) = a^2 - 4a + 5$

したがって、最大値は

$0 < a < 4$ のとき $5$

$a \ge 4$ のとき $a^2 - 4a + 5$

(2) 最小値を求める。

$0 \le x \le a$ における最小値を考える。

軸 $x=2$ と区間 $[0, a]$ の位置関係で場合分けをする。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、 $x=a$ で最小となる。

$f(a) = a^2 - 4a + 5$

(ii) $a > 2$ のとき、 $x=2$ で最小となる。

$f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

したがって、最小値は

$0 < a \le 2$ のとき $a^2 - 4a + 5$

$a > 2$ のとき $1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a < 4$ のとき $5$

$a \ge 4$ のとき $a^2 - 4a + 5$

(2) 最小値

$0 < a \le 2$ のとき $a^2 - 4a + 5$

$a > 2$ のとき $1$