半径がそれぞれ9と$x$の円が、半径が不明の円に外接し、さらに直線に接している。円の中心を結ぶと、半径9と$x$の円の中心間の距離が4である。このとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

半径がそれぞれ9と$x$の円が、半径が不明の円に外接し、さらに直線に接している。円の中心を結ぶと、半径9と$x$の円の中心間の距離が4である。このとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

半径9の円と半径$x$の円の中心間の距離が4なので、この二つの円は接している。二つの円が接しているとき、中心間の距離は半径の和に等しい。したがって、

$9 + x = 4$

これは明らかに矛盾している。問題文をよく読むと、半径不明の円に外接していると書いてある。また、半径9と$x$の円が直線に接していることも重要である。

半径9の円の中心をA、半径$x$の円の中心をBとする。直線と円の接点をそれぞれP,Qとすると、AP, BQはそれぞれ直線に垂直である。AからBQに垂線AHを下ろすと、三角形ABHは直角三角形になる。

AB = $9+x$

AH = $PQ = 4$

BH = $|x-9|$

三平方の定理より、

$(9+x)^2 = 4^2 + (x-9)^2$

$81 + 18x + x^2 = 16 + x^2 - 18x + 81$

$36x = 16$

$x = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{4}{9}$