xy平面上に2点A(-2, 0), B(3, 0)がある。円 C: $x^2 + (y-4)^2 = 9$ 上を動く点Pがあり、三角形ABPの重心をGとする。このとき、点Gの軌跡を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に2点A(-2, 0), B(3, 0)がある。円 C: $x^2 + (y-4)^2 = 9$ 上を動く点Pがあり、三角形ABPの重心をGとする。このとき、点Gの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(x, y)$、点Gの座標を$(X, Y)$とする。

点Pは円C上にあるので、$x^2 + (y-4)^2 = 9$を満たす。

三角形ABPの重心Gの座標は、A(-2, 0), B(3, 0), P(x, y)より

$X = \frac{-2+3+x}{3} = \frac{1+x}{3}$

$Y = \frac{0+0+y}{3} = \frac{y}{3}$

これらの式から、$x$と$y$を$X$と$Y$で表すと、

$x = 3X-1$

$y = 3Y$

これらを円Cの式に代入すると、

$(3X-1)^2 + (3Y-4)^2 = 9$

$9X^2 - 6X + 1 + 9Y^2 - 24Y + 16 = 9$

$9X^2 - 6X + 9Y^2 - 24Y + 8 = 0$

$X^2 - \frac{2}{3}X + Y^2 - \frac{8}{3}Y + \frac{8}{9} = 0$

$(X - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + (Y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} + \frac{8}{9} = 0$

$(X - \frac{1}{3})^2 + (Y - \frac{4}{3})^2 = \frac{9}{9} = 1$

よって、点Gの軌跡は、中心$(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$、半径1の円である。

3. 最終的な答え

$(x-\frac{1}{3})^2 + (y-\frac{4}{3})^2 = 1$