問題は、与えられた式を簡略化して、$z^y$ の指数を求めることです。与えられた式は次のとおりです。 $\frac{\sqrt[y]{x}}{y! - x!} = z^y[\ldots]$ ここで $[\ldots]$ は、求めたい指数です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式を簡略化して、$z^y$ の指数を求めることです。与えられた式は次のとおりです。

$\frac{\sqrt[y]{x}}{y! - x!} = z^y[\ldots]$

ここで $[\ldots]$ は、求めたい指数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を書き換えます。

$\frac{\sqrt[y]{x}}{y! - x!} = z^y[\ldots]$

左辺の$\sqrt[y]{x}$を指数表記に変換します。

$\sqrt[y]{x} = x^{\frac{1}{y}}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!} = z^y[\ldots]$

両辺の対数をとることで、指数に関する情報を得ることができます。しかし、問題は$\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!}$が$z^y$の何乗になるかを求めることなので、単純に$\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!}=z^k$となるkを求めることにします。

ここでkが$y[\ldots]$と等しくなる必要があります。

$\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!} = z^k$

$k = y[\ldots]$

問題文より、指数部分を求めればよいので、$\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!} = z^{y[\ldots]}$となるような$[\ldots]$を求めることを目指します。

つまり、$\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!} = z^k$となるkを求めた後、$k=y[\ldots]$を$[\ldots]$について解けば良いです。

$k = \frac{\log(\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!})}{\log(z)} = \frac{\frac{1}{y} \log(x) - \log(y! - x!)}{\log(z)}$

したがって、$k = y[\ldots]$より、

$\frac{\frac{1}{y} \log(x) - \log(y! - x!)}{\log(z)} = y[\ldots]$

$[\ldots] = \frac{\frac{1}{y} \log(x) - \log(y! - x!)}{y \log(z)}$

$[\ldots] = \frac{\log(x) - y\log(y! - x!)}{y^2 \log(z)}$

3. 最終的な答え

問題文を再度確認すると、$\frac{\sqrt[y]{x}}{y! - x!} = z^{y[\ldots]}$なので、$[\ldots]$は$\frac{\log(\frac{x^{\frac{1}{y}}}{y! - x!})}{\log(z)}$をyで割った値です。

よって、

$\frac{\frac{1}{y} \log(x) - \log(y! - x!)}{\log(z)} = y [\ldots]$なので、

$[\ldots] = \frac{\frac{1}{y} \log(x) - \log(y! - x!)}{y \log(z)}$

$[\ldots] = \frac{\log x}{y^2 \log z} - \frac{\log(y! - x!)}{y \log z}$

最終的な答え: $\frac{\log x}{y^2 \log z} - \frac{\log(y! - x!)}{y \log z}$