1から5までの数字が書かれたカードが各数字4枚ずつ、合計20枚ある。この中から2枚同時に取り出すとき、2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の積が6以下である確率を求める。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれたカードが各数字4枚ずつ、合計20枚ある。この中から2枚同時に取り出すとき、2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の積が6以下である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、2枚のカードの取り出し方の総数を計算します。これは20枚から2枚を選ぶ組み合わせなので、

$_{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$通り

次に、2枚が同じ数字である場合の数を計算します。

各数字について4枚のカードがあるので、同じ数字のカードを選ぶ組み合わせは$_{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

数字は1から5まであるので、同じ数字のカードを選ぶ場合の数は$6 \times 5 = 30$通り。

次に、2枚の数字の積が6以下となる場合の数を計算します。

積が6以下となる組み合わせは次の通りです。

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1)

それぞれの組み合わせについて、カードの枚数を考慮して場合の数を計算します。

(1, 1): $_{4}C_2 = 6$通り

(1, 2): $4 \times 4 = 16$通り

(1, 3): $4 \times 4 = 16$通り

(1, 4): $4 \times 4 = 16$通り

(1, 5): $4 \times 4 = 16$通り

(2, 1): $4 \times 4 = 16$通り

(2, 2): $_{4}C_2 = 6$通り

(2, 3): $4 \times 4 = 16$通り

(3, 1): $4 \times 4 = 16$通り

(3, 2): $4 \times 4 = 16$通り

(4, 1): $4 \times 4 = 16$通り

(5, 1): $4 \times 4 = 16$通り

これらの合計は$6 + 16 \times 10 + 6 = 6 + 160 + 6 = 172$通り。

2枚が同じ数字である場合と、積が6以下である場合の両方を満たす場合の数を計算します。

2枚が同じ数字で積が6以下となるのは、(1, 1), (2, 2)の組み合わせの場合です。

(1, 1): $_{4}C_2 = 6$通り

(2, 2): $_{4}C_2 = 6$通り

合計$6 + 6 = 12$通り。

求める確率は、同じ数字であるか積が6以下である場合の数を、全ての取り出し方で割ったものです。

これは、和集合の要素数を求める問題であり、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

同じ数字である場合の数: $n(A) = 30$

積が6以下である場合の数: $n(B) = 172$

同じ数字で積が6以下である場合の数: $n(A \cap B) = 12$

同じ数字であるか積が6以下である場合の数: $30 + 172 - 12 = 190$

したがって、求める確率は$\frac{190}{190} = 1$。

3. 最終的な答え

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