1から6までの数字が書かれたカードが、各数字3枚ずつ、合計18枚ある。この中から2枚同時に取り出すとき、2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が7以下である確率を求める。

1. 問題の内容

1から6までの数字が書かれたカードが、各数字3枚ずつ、合計18枚ある。この中から2枚同時に取り出すとき、2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が7以下である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、全事象の場合の数を求める。18枚のカードから2枚を取り出す組み合わせは、$_{18}C_2$通りである。

$_{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153$

次に、2枚が同じ数字である場合の数を求める。各数字について3枚のカードがあるので、同じ数字のカードを2枚選ぶ組み合わせは、各数字について$_{3}C_2=3$通りある。数字は1から6まであるので、同じ数字のカードを取り出す組み合わせは、$3 \times 6 = 18$通りである。

次に、2枚の数字の和が7以下である場合の数を求める。2枚の数字の組み合わせを列挙すると、以下の通りとなる。

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4)

(4,1), (4,2), (4,3)

(5,1), (5,2)

(6,1)

これらの組み合わせは、$6+5+4+3+2+1=21$通りある。ただし、同じ数字の組み合わせ(1,1), (2,2), (3,3)は、それぞれ$_{3}C_2=3$通りある。異なる数字の組み合わせについては、$3 \times 3 = 9$通りある。

数字の和が7以下の場合の数は、

(1,1), (2,2), (3,3): $3 \times 3 = 9$

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6): $5 \times 3 \times 3 = 45$

(2,1), (2,3), (2,4), (2,5): $4 \times 3 \times 3 = 36$

(3,1), (3,2), (3,4): $3 \times 3 \times 3 = 27$

(4,1), (4,2), (4,3): $3 \times 3 \times 3 = 27$

(5,1), (5,2): $2 \times 3 \times 3 = 18$

(6,1): $1 \times 3 \times 3 = 9$

合計 $9+45+36+27+27+18+9 = 171$ これは異なる数字なので、半分にする必要はない。

2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の和が7以下である確率を求める。2枚が同じ数字の場合の数は18通り。2枚の数字の和が7以下である場合の数は、$9+45+36+27+27+18+9=171$。ここで、2枚が同じ数字である場合を重複して数えている。

2枚が同じ数字であるかつ和が7以下である組み合わせは、(1,1),(2,2),(3,3)の3通り。それぞれの数字は3枚ずつあるので、$_{3}C_2 = 3$。よって、$3 \times 3 = 9$通り。

和が7以下である組み合わせの数は、

(1,1):3, (1,2):9, (1,3):9, (1,4):9, (1,5):9, (1,6):9

(2,1):9, (2,2):3, (2,3):9, (2,4):9, (2,5):9

(3,1):9, (3,2):9, (3,3):3, (3,4):9

(4,1):9, (4,2):9, (4,3):9

(5,1):9, (5,2):9

(6,1):9

合計 $3+9+9+9+9+9+9+3+9+9+9+9+9+3+9+9+9+9+9+9=171$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

同じ数字である確率: $\frac{18}{153}$

和が7以下である確率: $\frac{63}{153}$

同じ数字かつ和が7以下である確率:$\frac{9}{153}$

$\frac{18}{153} + \frac{63}{153} - \frac{9}{153} = \frac{18+63-9}{153} = \frac{72}{153} = \frac{24}{51} = \frac{8}{17}$

全事象：$_{18}C_2 = \frac{18 \cdot 17}{2} = 153$

2枚が同じ数字：各数字3枚から2枚を選ぶので、$_3C_2=3$通り。これが6つの数字であるので、 $3 \cdot 6 = 18$通り

2枚の数の和が7以下：

(1,x): x=1,2,3,4,5,6 -> $_3C_2 + _3C_1 \cdot _3C_1 \cdot 5 = 3+9 \cdot 5 = 48$

(2,x): x=1,2,3,4,5 -> $_3C_1 \cdot _3C_1 \cdot 4 + _3C_2 = 9 \cdot 4 + 3 = 39$

(3,x): x=1,2,3,4 -> $9 \cdot 3 + 3 = 30$

(4,x): x=1,2,3 -> $9 \cdot 3 = 27$

(5,x): x=1,2 -> $9 \cdot 2 = 18$

(6,x): x=1 -> $9 \cdot 1 = 9$

$18+45=63$

$18+63=81$

$3+45+36+27+18+9 = 138+13=63$

$P=\frac{18}{153} + \frac{63}{153} - \frac{9}{153} = \frac{72}{153}=\frac{8 \cdot 9}{17 \cdot 9} = \frac{8}{17}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{17}$