赤球2個と白球3個が入った袋から、球を1個ずつ続けて2個取り出す。1個目に赤球を取り出す事象をA、2個目に赤球を取り出す事象をBとする。$P(A \cap B) = \frac{1}{a}$ のとき、$a$ を求める。

## Q7

1. 問題の内容

赤球2個と白球3個が入った袋から、球を1個ずつ続けて2個取り出す。1個目に赤球を取り出す事象をA、2個目に赤球を取り出す事象をBとする。$P(A \cap B) = \frac{1}{a}$ のとき、$a$ を求める。

2. 解き方の手順

$P(A \cap B)$ は、1個目と2個目の両方で赤球を取り出す確率を表す。

まず、1個目に赤球を取り出す確率 $P(A)$ を計算する。

$P(A) = \frac{\text{赤球の数}}{\text{全体の球の数}} = \frac{2}{5}$

次に、1個目に赤球を取り出したという条件のもとで、2個目に赤球を取り出す条件付き確率 $P(B|A)$ を計算する。1個目に赤球を取り出したので、袋の中には赤球が1個、白球が3個、合計4個の球が残っている。

$P(B|A) = \frac{\text{残っている赤球の数}}{\text{残っている球の数}} = \frac{1}{4}$

$P(A \cap B)$ は、$P(A) \times P(B|A)$ で計算できる。

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

問題文より $P(A \cap B) = \frac{1}{a}$ なので、$\frac{1}{a} = \frac{1}{10}$ となる。

したがって、$a = 10$。

3. 最終的な答え

10

## Q8

1. 問題の内容

6から15までの10個の数のうち1つの数字を選ぶ。選ばれた数が偶数である事象をA, 3の倍数である確率をBとする。$P_A(B) = \frac{2}{a}$ のとき、$a$ を求める。

2. 解き方の手順

$P_A(B)$ は、選ばれた数が偶数であるという条件のもとで、その数が3の倍数である確率を表す。

まず、6から15までの偶数をリストアップする。

偶数：6, 8, 10, 12, 14。 偶数は5個ある。

次に、6から15までの偶数のうち、3の倍数であるものをリストアップする。

3の倍数：6, 12。 3の倍数は2個ある。

したがって、$P_A(B)$ は、偶数であるという条件の下で、3の倍数である確率なので、

$P_A(B) = \frac{\text{偶数かつ3の倍数の個数}}{\text{偶数の個数}} = \frac{2}{5}$

問題文より $P_A(B) = \frac{2}{a}$ なので、$\frac{2}{a} = \frac{2}{5}$ となる。

したがって、$a = 5$。

3. 最終的な答え

5

## Q9

1. 問題の内容

6から15までの10個の数のうち1つの数字を選ぶ。選ばれた数が偶数である事象をA, 3の倍数である確率をBとする。$P(A \cap B) = \frac{1}{a}$ のとき、$a$ を求める。

2. 解き方の手順

$P(A \cap B)$ は、選ばれた数が偶数かつ3の倍数である確率を表す。

まず、6から15までの数をリストアップする。

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15。 全部で10個ある。

次に、6から15までの数のうち、偶数かつ3の倍数であるものをリストアップする。

偶数かつ3の倍数：6, 12。2個ある。

したがって、$P(A \cap B)$ は、

$P(A \cap B) = \frac{\text{偶数かつ3の倍数の個数}}{\text{全体の個数}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

問題文より $P(A \cap B) = \frac{1}{a}$ なので、$\frac{1}{a} = \frac{1}{5}$ となる。

したがって、$a = 5$。

3. 最終的な答え

5

## Q10

1. 問題の内容

賞金額1等2000円、2等300円、それ以外ははずれで0円のくじがある。1等の出る確率が$\frac{1}{10}$、2等の出る確率が$\frac{1}{3}$であるとき、このくじの期待値を求める。

2. 解き方の手順

期待値は、各賞金額とその確率を掛け合わせたものの合計で計算される。

1等の賞金額は2000円、確率は$\frac{1}{10}$。

2等の賞金額は300円、確率は$\frac{1}{3}$。

はずれの賞金額は0円。はずれの確率は、$1 - \frac{1}{10} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{3}{30} - \frac{10}{30} = 1 - \frac{13}{30} = \frac{17}{30}$

期待値 $= 2000 \times \frac{1}{10} + 300 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{17}{30} = 200 + 100 + 0 = 300$

3. 最終的な答え

300