$90^\circ < \theta < 180^\circ$ の条件の下で、三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (2) $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ の条件の下で、三角関数の値を求める問題です。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(2) $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{1}{5}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\cos \theta < 0$ です。

したがって、

$\cos \theta = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{-2\sqrt{6}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$

(2) $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\sin \theta > 0$ です。

したがって、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{4}{-3} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{1}{5}$ のとき

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{6}}{12}$

(2) $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$